यदि f(x) = frac{2 - x cos x}{2 + x cos x} और | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} g(f(x)) dx$ है। यहाँ $f(-x) = \frac{2 - (-x) \cos(-x)}{2 + (-x) \cos(-x)} = \frac{2 + x \cos x}{2 - x \cos x} = \f

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$\ln 1$

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(A) माना $I = \int_{-\pi/4}^{\pi/4} g(f(x)) dx$ है। यहाँ $f(-x) = \frac{2 - (-x) \cos(-x)}{2 + (-x) \cos(-x)} = \frac{2 + x \cos x}{2 - x \cos x} = \frac{1}{f(x)}$ है। अतः,$g(f(-x)) = \ln(f(-x)) = \ln(1/f(x)) = -\ln(f(x)) = -g(f(x))$ है। इस प्रकार,$g(f(x))$ एक विषम फलन (odd function) है। किसी भी विषम फलन $h(x)$ के लिए,$\int_{-a}^{a} h(x) dx = 0$ होता है। इसलिए,$I = 0$ है। चूंकि $\ln 1 = 0$,इसलिए सही विकल्प $\ln 1$ है।

यदि $f(x) = \frac{2 - x \cos x}{2 + x \cos x}$ और $g(x) = \ln x$ $(x > 0)$ है,तो समाकलन $\int_{-\pi/4}^{\pi/4} g(f(x)) dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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